Pada selang 0≤x≤4, jarak terjauh dari kurva f(x)=x^3-6x^2+9x dengan sumbu x adalah…

www.jagostat.com

www.jagostat.com

Website Belajar Matematika & Statistika

Website Belajar Matematika & Statistika

Bahas Soal Matematika   »   Aplikasi Turunan   ›  

Pada selang \(0 \leq x \leq 4\), jarak terjauh dari kurva \(f(x) = x^3-6x^2+9x\) dengan sumbu \(x\) adalah…

  1. 1
  2. 2
  3. 4
  4. 8
  5. 16

(SPMB 2005 Regional II)

Pembahasan:

Dalam soal ini ditanyakan jarak terjauh dari kurva \(f(x) = x^3-6x^2+9x\) dengan sumbu \(x\), yang berarti kita perlu menggunakan konsep nilai maksimum/minimum dari suatu fungsi.

Kita bisa gunakan uji turunan pertama dan kedua untuk mencari nilai maksimum/minimum dari suatu fungsi. Ingat bahwa jika \(x=a\) memenuhi \( f’(a) = 0 \) dan \(f’’(a) > 0\) maka \(x=a\) adalah pembuat \(f(x)\) minimum atau nilai minimum \(f(x)\) adalah \(f(a)\). Sebaliknya, jika \(x=a\) memenuhi \(f’(a) = 0\) dan \(f’’(a) < 0\) maka \(x=a\) adalah pembuat \(f(x)\) maksimum atau nilai maksimum \(f(x)\) adalah \(f(a)\).

\begin{aligned} f(x) &= x^3-6x^2+9x \\[8pt] f'(x) &= 3x^2-12x+9 \Leftrightarrow f'(x) = 0 \\[8pt] 0 &= 3x^2-12x+9 \Leftrightarrow 0 = x^2-4x+3 \\[8pt] 0 &= (x-1)(x-3) \\[8pt] x &= 1 \ \text{atau} \ x = 3 \end{aligned}

Berdasarkan hasil yang kita peroleh di atas, \(f(x)\) akan maksimum/minimum di \(x=1\) atau \(x=3\). Selanjutnya, berdasarkan uji turunan kedua, kita peroleh:

\begin{aligned} f'(x) &= 3x^2-12x+9 \\[8pt] f''(x) &= 6x-12 \\[8pt] f''(1) &= 6(1)-12 = 6-12 \\[8pt] &= -6 < 0 \quad \Rightarrow \text{nilai maksimum di f(1)} \\[8pt] f''(3) &= 6(3)-12 = 18-12 \\[8pt] &= 6 > 0 \quad \Rightarrow \text{nilai minimum di f(3)} \end{aligned}

Berdasarkan hasil di atas, nilai minimum di \(f(3)\) dan nilai maksimum di \(f(1)\) sehingga kita peroleh:

\begin{aligned} f(x) &= x^3-6x^2+9x \\[8pt] f(3) &= 3^3-6(3)^2+9(3) \\[8pt] &= 27-54+27 \\[8pt] &= 0 \quad \Rightarrow \text{nilai minimum} \\[8pt] f(1) &= 1^3-6(1)^2+9(1) \\[8pt] &= 1-6+9 \\[8pt] &= 4 \quad \Rightarrow \text{nilai maksimum} \end{aligned}

Jadi, pada selang \(0 \leq x \leq 4\), jarak terjauh kurva sama dengan nilai maksimum. Pada kasus ini nilai minimum adalah 0 dan nilai maksimum adalah 4, sehingga jarak terjauh kurva terhadap sumbu \(x\) adalah 4.

Jawaban C.